为什么丝绸摩擦过的玻璃棒带正电?为什么动物毛皮摩擦过的橡胶棒带负电?

与“不求甚解”相反，傅老师从小就是一个“颇求甚解”的人。

还记得初中时刚开始学习物理，物理老师（但是我们的物理老师是班主任）课堂上给我们讲电和电荷的入门知识。记得那时她拿了丝绸、动物毛（忘记是什么毛了）、橡胶棒和玻璃棒，然后将树上所介绍的摩擦起点的知识形象地呈现给我们。很容易地我们一班同学就记住了“丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，动物皮毛摩擦过的橡胶棒带负电”这一知识点，记得考试时还经常出填空或选择题来考我们。

拿老师的话来讲，那个时候的“傅老师”特别爱钻“牛角尖”，记得当时我曾经问过物理老师：“为什么丝绸摩擦过的玻璃棒带正电?为什么动物毛皮摩擦过的橡胶棒带负电?”还有更怪的：“为什么丝绸或者动物皮毛摩擦铁棒不带电？”通常此类问题老师很容易地以“超纲”或者“大学才会学到”等无可挑剔的答案来回复。

后来高中学完了，自己以为具备了物理化学初等功底的我，那时仍然没弄明白“为什么丝绸摩擦过的玻璃棒带正电?为什么动物毛皮摩擦过的橡胶棒带负电?”高三的时候查阅了父亲留下的几册《大学物理讲义》，仍然不得其解。再后来大学（211重点本科，理工科专业）也学完了，印象中《大学物理》课本中连“毛”（动物皮毛）都没提到，到现在还是不知道“为什么丝绸摩擦过的玻璃棒带正电?为什么动物毛皮摩擦过的橡胶棒带负电?”

今天恰好回想起这个小时候未解的问题，遂随笔记录一下，权放到“数学”分类中吧。

摩托罗拉解锁图案引出的问题:一共可以画出多少种符合规则的解锁图案

摩托罗拉解锁图案

摩托罗拉Android手机上有一个“解锁图案”的功能，相当于老手机的解除锁定（或者开机）密码功能，以前是设置一个4位数，那么有10000（10×10×10×10）种设置法。现在新版的摩托罗拉解锁图案的规则是：
1、必须一笔画完；
2、必须至少连接4个点，最多连9个点（因为点阵就是3×3的）；
3、点不能重复（即只能和另一个点相连），不能“穿越”，不能穿越的意思就是你不能从左上角画到右下角再到正中间的点，只能“左上角->正中间->右下角”这样画。

在这样的规则下要计算一共有多少种符合要求的解锁图案，似乎有点小难度，傅老师最近有空就在琢磨这个问题，待茅塞顿开时再来更新。

三点共线的情形分析

其中绿线表示合法解锁图案，红线则非法（为了直观，画成了弧线）。那么每种情形就有4种画法非法，这样任取3点非法的画法总共有4×6=24种。非法联接数明确以后，下面解决问题的思路就非常明朗了。

联接4点的合法画法数：
从9个点中任取4点：P₉⁴=3024
非法画法总共：24×C₆¹×P₂²=288（非法3点看做整体与剩余一点做全排列）
联接4点的合法画法数=3024-144=2736

联接5点的合法画法数：
从9个点中任取5点：P₉⁵=15120
非法画法总共：24×C₆²×P₃³=2160（非法3点看做整体，然后从剩余6点任取2点，然后做全排列）
联接5点的合法画法数=15120-2160=12960

以此类推，直至求得联接9点的合法画法数。以下不再赘述，至此题目已解。
（注意上面把非法3点看做整体是有道理的，因为画图时要求一笔完成，因此3点的整体只可能有一点进，或者一点出，即出度和入度皆为1，因此可视作一个点）

巩固练习：
已知某摩托罗拉手机解锁图案联接了6点，那么画3次破解该图案的概率是多大？

2010年江苏高考数学试题理科附加题被傅老师秒杀

临近暑假了，近期工作一直比较忙。累的时候抽空简单选了几道2010年江苏高考数学试题理科附加题做了一下，感觉很简单，没有网上谈的“秒杀52万”考生那种感觉。

先看附加题第1题，一道初中平面几何：
AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC。

理科附加题1（平面几何）

这个题真的是太简单啦，几乎不用动脑经。如红线作出辅助线，证明RT△ADB≌RT△CDO即可，根据ASA即可。

附加题第4题，不等式的证明：
已知实数a,b≥0，求证：

不等式的证明

设√a=x, √b=y (x, y≥0)，原不等式等价变为：x⁶+y⁶≥xy(x⁴+y⁴)
去括号移项得关于x,y的6次齐次式，并因式分解为：(x⁵-y⁵)(x-y)
至此，原不等式的答案一目了然，不再赘述。

看最后一个题（压轴题）：
已知△ABC的三边长为有理数，（1）求证cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数。
直接用余弦定理把cosA表示出来（又是乘方又是分式，傅老师就不写啦），由于a,b,c三边长都是有理数，有理数的四则运算结果仍然是有理数（有理数四则运算结果的封闭性），所以cosA也是有理数。第一问得证明。
第二问我们用第二数学归纳法（假设n=2,3,…,k时成立）：
当n=1时, 根据第一题结论，命题显然成立；
假设当n=2,3,…,k时命题成立，
那么当n=k+1的时候：
cos[(k+1)A]=coskAcosA-sinkAsinA=coskAcosA-0.5cos[(k+1)A]+0.5cos[(k-1)A]
因此cos[(k+1)A]=coskAcosA/1.5+cos[(k-1)A]/3
根据第一题的结论cosA是有理数，根据假设coskA和cos[(k-1)A]都是有理数，所以cos[(k+1)A]是有理数。
至此原命题得证。

银行卡密码到底有多安全？

我们使用的银行卡密码为6位数字，在ATM机上使用时如果连续输错3次密码就会被吞卡。那么如果有人捡到一张银行卡，拿到ATM机上去试密码，他在3次以内蒙对密码的可能性有多大呢？下面我们来看看3次以内蒙对密码的概率计算。

为了计算这个概率，我们只需要排除第一次密码输入错误、第二次密码输入错误、第三次密码输入错的连续情形：
第一次输错的概率：(10⁶-1)/10⁶；
第二次输错的概率：(10⁶-2)/10⁶；
第三次输错的概率：(10⁶-3)/10⁶。

那么3次以内蒙对密码的概率就是1-(10⁶-1)/10⁶)((10⁶-2)/10⁶)((10⁶-3)/10⁶)，借助于计算机强大的功能，可以算出这个值大约是是：0.00000599998899997178，约百万分之六。

看来银行卡密码是十分安全的，百万分之六的概率绝对是小概率事件，忽略之。不过要知道，如果不限次数，6位数字密码在计算机上将被“秒杀”，密码破解在眨眼之间。

2010江苏高考数学试题下载,号称秒杀52万考生

上个礼拜全国各地的高考就全部结束了，和傅老师当年参加高考一样，考完以后学生们总是有喜有忧。这几天在网上看到有说《2010年江苏高考数学试题》太难，秒杀江苏52万考生的文章，觉得很新鲜，就把这套高考数学题下载下来看了一下，未见难度有多大。这里傅老师顺便也分享一下下载地址。过会傅老师选几个题的解答发上来。

http://www.voytown.com/read-htm-tid-360-page-e.html

自从06年开始上海外教网的工作以来，傅老师已经没摸数学很久了，也很少有人知道傅老师的“数学功底”：
1、读书时：小学数学奥利匹克全国三等奖、全国初中数学联赛省二等奖、全国高中数学联赛留了个遗憾；
2、工作后：2年全国初中数学联赛、高中数学联赛教练，辅导学生全部是成都七中、石室中学等国家级重点中学的理科实验班学生；
3、曾任一年K12数学论坛版主；
4、著有论文《数学“模型”在初中数学解题中的应用举隅》、《谈三角方法在高中数学平面几何竞赛中的应用》；
6、对以下内容的研究曾经已经达到或接近IMO的水平：不等式、平面几何、函数方程、排列组合、数论。